克罗内克Delta函数今日足球最稳三串一推荐，虽轻便却影响潜入，它为许浩繁学和物理界限的商议提供了基础。这个函数以德国数学家利奥波德·克罗内克的名字定名，以其专有的特色在诸浩繁学表面和公式中推崇着迫切作用。
在表面物理中，咱们实在无法思象莫得克罗内克δ（Kronecker delta）的情况，它的体式如下，
这个相对轻便但功能高大的张量（tensor）在表面物理的通盘界限齐有应用。举例，它被用于将长抒发式写得更紧凑，以及简化复杂的抒发式。与莱维-奇维塔张量（Levi-Civita tensor）趋奉使用时，这两个张量尽头有效！
δ_ij 取值为1或0，具体取值取决于其两个下标 i 和 j 的值。下方向最大值对应于酌量的维数，是以在三维空间中，i 和 j 的范围是1到3。当 i 和 j 相那时，δ_ij等于1。当 i 和 j 不等时，δ_ij 等于0，
让咱们看一些例子，
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因为下标额外。
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因为下标不额外。
爱因斯坦乞降商定（Einstein's Summation convention）
为了紧凑地暗意像这么：
或像这么的抒发式：
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咱们商定如下的乞降规定：不祥乞降象征，
但要记着，若是在抒发式中出现两个疏导的下标，那么就对该下标乞降。
乞降商定的另一个优点（除了紧凑性）是体式上的可交换性。举例，你不错按照你但愿的规章写下抒发式，举例这么：
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这可能匡助你看到什么不错进一步缩减或简化。
但有些例外，举例与微分运算符
partial_j，作用于一个后继项。你不可将被求导的项迁移到微分前边
是以在使用下标暗意法时，应该禁止惩办运算符。
咫尺让咱们学习一些使用克罗内克函数的迫切规定。
性质1：克罗内克函数是对称的，
为什么？凭据界说，若是下标i和j额外，那么δ_ij 等于1，那么δ_ji也等于1。若是下标不等，δ_ij=0，δ_ji也等于0。是以，克罗内克函数是对称的！
性质2：下标缩减
若是两个或更多的克罗内克函数的乘积包含一个乞降下标，那么乘积不错缩减，使得乞降下标 j 隐藏。
为什么？让咱们酌量举例当下标 i 和 j 额外的情况：i = j，而下标 j 和 k 不等：j ≠ k ，那么就得出 i 和 k 也必须不等：i ≠ k。是以δ_jk 是0，因此左手边的通盘这个词项是0：
而左手边的δ_ik 亦然0，因为i和k是不同的，是以等式诞生。
让咱们通过一些例子来更好地领路，
下一个例子：
性质 3：下标转化
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若是在 a_j 中的下标也出咫尺克罗内克函数 δ _jk 中，那么δ 隐藏，而因子 a_j 取得另一个下标 k。
这个规定基本上是下标缩减的另一种情况。这个规定告诉你，你也不错缩减不需要由克罗内克尔δ佩戴的乞降下标。让咱们再举一个例子，
性质 4：额外下标乞降
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若是 j 从1开动到 n，那么：
为什么这么？凭据乞降商定：在这里，乞降是通过 j 进行的。是以
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每个 δ 齐是1，因为下标值是额外的。
δ 的标量积
咫尺咱们来写出带有克罗内克δ的标量积。酌量一个由x，y，z三个部分组成的三维向量v = (x, y, z)：
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你不错按照下述花式在圭臬正交基下暗意此向量：
这里x，y和z是彼此正交并被轨范化的三个基向量。在这个例子中，他们组成一个正交的三维坐标系统。
人文δ要用索引标志写出向量。这里咱们无用不同的字母x，y，z来暗意向量的重量，而是接收一个字母（在这里是字母v）然后聚积对向量的重量和基向量进行编号。然后，向量的重量被称为v_1，v_2，v_3，况兼基张开如下所示：
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这种索引标志的优点在于，这么你永久不会用完向量重量的数字。试思一下一个五十维的向量，莫得充足的字母给向量的每一个重量v_1，v_2直到v_50一个专有的字母。
另一个索引标志的优点在于，通过这种式样对向量重量进行编号，不错用乞降象征更紧凑地暗意基的张开，
若是不祥乞降象征，它就变得更紧凑，
在这里，咱们对索引j进行乞降。
咫尺咱们知谈了一个向量如安在成见标志中暗意，咱们不错类比地写出两个向量a和b的标量积，
使用刚刚学习的向量的索引暗意：
在索引标志中，你不错按你可爱的式样排序因子。这便是索引标志的优点，其中交换律适用。哄骗这个，把括号放在基向量周围，以强调引入克罗内克δ的迫切性：
基向量e_i和e_j是正交轨范的。回忆一下关于两个向量来说，成为正交轨范化的属性意味着什么？他们的标量积的要么是1，要么是0：
两个正交轨范化向量的标量积赶巧像克罗内克函数，
因此，用δ替换两个基向量的标量积：
凭据第三条性质，不错缩减乞降索引j，
然后就得到了标量积的精准界说，
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为了锻练，咱们不错写出对i和j的乞降，列出通盘可能的i和j的组合：
如你所见，由于克罗内克函数的界说，共9个重量中惟有3个不为零，即i = j；不祥通盘不额外的索引的乞降项（0）；况兼，使用克罗内克δ的界说有：
这就得到了咱们闇练的标量积：
